BLOQUE 1. : septiembre 2013

domingo, 1 de septiembre de 2013

ÁLGEBRA Y ARITMÉTICA

¿Que es el algebra?

El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica.

Etimologicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala )??? (yebr) ( al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Historia del álgebra

El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordial mente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de pitagoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquimesas Herón y Diofante. Arquímedes se basó en las matemáticas en su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento, como principales trabajos tenemos al análisis diofántica y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra hasta ese entonces.

Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones,y parte de la geometría la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.

El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de las matemáticas como la lógica ( álgebra de Boole), el análisis y la topología.

¿Que es la Aritmetica?

La Aritmetica es una rama de las matematicas que se encarga de estudiar las estrucutras númericas elementales, asi como las propiedades de las operaciones y los números en si mismos en su concepto mas profundo, construyendo lo que se conoce como teoria de números.

Para ti es mas sencillo encontrar la aritmetica dentro de tu vida cuando:

vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por medio de una resta, el cambio que dara el tendero.

cuando estas a punto de a abordar el servicio publico y cuantas rapidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del pasaje.

tambien cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas.

Se piensa que la Aritmetica nace con la necesidad de contar los objetos y animales que el ser humano primitiva poseia.

UNIDADES, DECENAS, CENTENAS

Cuando escribimos un número, la primera cifra por la derecha representa las unidades, la segunda por la derecha las decenas y la tercera por la derecha las centenas.

Veamos el número 125:

La relación entre ellas es:

1 decena = 10 unidades
1 centena = 100 unidades
1 centena = 10 decenas

El número anterior 125 se puede descomponer entonces:

1 centenas = 100 unidades
2 decenas = 20 unidades
5 unidades = 5 unidades

Podemos comprobar que si sumamos estos tres componentes:

100 + 20 + 5 = 125

Cuando sumamos o restamos números hay que escribirlos de forma que:

Todas las unidades en la columna de las unidades
Todas las decenas en la columna de las decenas
Todas las centenas en la columna de las centenas

Veamos la siguiente suma: 145 + 56 + 678

Vamos a ver ahora una resta: 361 - 72

M.C.D

En matemáticas , se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto:

$\operatorname{mcd}(42,56) = 14 \,$

operando:

$\frac{42}{14} = 3 \; , \quad \frac{56}{14} = 4$

Siendo 3 y 4 primos entre sí (no existe ningún número natural, aparte de 1, que divida a la vez al 3 y al 4).

. Si $\ \operatorname{mcd}(a,b)=d$ entonces $\ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1$

2. Si $\ m$ es un entero, $\ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)$

3. Si $\ p$ es un número primo, entonces $\ \operatorname{mcd}(p,m)=p$ o bien $\ \operatorname{mcd}(m,p)=1$

4. Si $d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1$ , entonces $\ d=d'$

5. Si $\ d'$ es un divisor común de $\ m$ y $\ n$ , entonces $d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)$

6. Si $\ m=nq+r$ , entonces $\operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)$

M.C.M

En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica connúmeros naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos.

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

$\begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$

$72 = 2^3 \cdot 3^2 \,$

$\begin{array}{r|l} 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

$50 = 2 \cdot 5^2 \,$

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

$\operatorname{mcm} (72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800$

EJEMPLO: Calcular el MCM entre 24 y 45

Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos

24 | 2             45 | 3 12 | 2             15 | 3 6 | 2              5 | 5 3 | 3              1 | 1 1 | 1

24 = 2³.3                          45 = 3².5

Más ejemplos del cálculo de MCM:

12 | 2              50 | 2 6 | 2              25 | 5 3 | 3               5 | 5 1 | 1               1 | 1 12 = 2².3         50 = 2.5² MCM = 2².3.5² = 300 168 | 2             250 | 2           180 | 2 84 | 2             125 | 5            90 | 2 42 | 2              25 | 5            45 | 3 21 | 3               5 | 5            15 | 3   7 | 7               1 | 1             5 | 5   1 | 1                                 1 | 1 168 = 2³.3.7      250 = 2.5³      180 = 2².3².5MCM = 2³.3².5³.7 = 63000

DIVISIBILIDAD

En matemáticas, se dice que un n úmero entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir, que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división euclídea es cero.

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múl tiplode a». Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Los números divisibles entre 2 son los q terminan en 0 o cifra par. Ej: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20...
Los números divisibles entre 3 son los q la suma de sus cifras sea un múltiplo de 3. Ej: 3,6,9,
Los números divisibles entre 5 son los q terminan en 0 o 5. Ej : 5,10,15,20,25

PROPORCIÓN

PROPORCIÓN. Se llama proporción a una igualdad entre dos razones (una razón es el cociente entre dos números).

A . . . .C
— = ——
B . . . .D

Se lee: A es a B como C es a D

A y D se llaman extremos
B y C se llaman medios.

Ejemplo:

10 . . . 0,6
— = ———
5 . . . . 0,3

Los extremos son 10 y 0,3. Los medios son 5 y 0,6

————————————————————————————————————
PROPIEDAD FUNDAMENTAL. "En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios".

Dada la proporción

A . . . .C
— = ——
B . . . .D

se cumple que:

▬▬▬▬▬▬
A • D = B • C
▬▬▬▬▬▬

Ejemplo: En la proporción

10 . . . 0,6
— = ———
5 . . . . 0,3

se cumple que:

10 • 0,3 = 5 • 0,6

3 = 3 ✔

————————————————————————————————————
OTRAS PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES. En la proporción

A . . . .C
— = ——
B . . . .D

se llaman antecedentes a los términos A y C, y consecuentes a B y D.

PROPIEDAD 1) En una proporción, cada antecedente es a su consecuente, como la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes.

A . . . .C . . . A + C
— = —— = ————
B . . . .D . . . B + D

Ejemplo:

24 . . . 16 . . . .24 + 16
— = ——— = ————
3 . . . . 2 . . . . . 3 + 2

PROPIEDAD 2) En una proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma entre el antecedente y el cosencuente de la segunda razón es a su consecuente.

A + B . . .C + D
——— = ———
. .B . . . . . .D

Ejemplo: Dada la proporción

24 . . . 16
— = ———
3 . . . . 2

se cumple que:

24 + 3 . . .16 + 2
——— = ————
. . 3 . . . . . . 2

PROPIEDAD 3) En una proporción, la diferencia entre el antecedente y el cosecuente de la primera razón es a su consecuente, como la diferencia entre el antecedente y el cosencuente de la segunda razón es a su consecuente.

A - B . . . C - D
——— = ———
. .B . . . . . .D

Ejemplo: Dada la proporción

24 . . . 16
— = ———
3 . . . . 2

se cumple que:

24 - 3 . . .16 - 2
——— = ————
. . 3 . . . . . . 2

RAZÓN

La razón matemática en la aritmética es la diferencia de de dos cantidades. La razón aritmética se puede escribir separando las dos cantidades con el signo "-" o bien con un punto. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 - 4 ó 6.4. Cuando se pone punto (.) ke yo sepa se pone en medio como el guion.

El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. Así en la razón 6 - 4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

RAZÓN

Los resultados de observaciones o medidas deben compararse a menudo con algún valor normal para que tengan algún significado. Por ejemplo, decir que un hombre puede leer 400 palabras por minuto tiene poco significado así como se lo establece. Pero cuando esta relación se la compara con las 250 palabras por minuto que lee un lector medio, se puede ver que aquél lee considerablemente más rápido que el lector común. ¿Cuánto más rápido? Para determinarlo, esta relación se divide por la relación del lector medio, como sigue: 400/250= 8/5

Entonces, por cada 5 palabras leídas por el lector medio este hombre lee 8. Otra forma de hacer esa comparación es diciendo que él lee 1 3/5 veces más rápido que el lector medio.

Cuando la relación entre dos números se indica en esta forma, se compara como una RAZÓN. Una razón es una comparación de dos cantidades semejantes. Es el cociente obtenido dividiendo el primer número de la comparación por el segundo.

18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6. fdsf

Ejemplo 1 Supongamos que se realiz o una encuesta entre los j ovenes entre

18 y 21 anos ~ cuya conclusi on es: "1 de cada 5 j ovenes est a inscrito en el

Registro Electoral". Entonces, podemos decir que la raz on entre los que votan

y el total de j ovenes es 1 : 5. Tambi en podemos decir que la raz on entre los

que votan y los que no, es 1 : 4.

Como vimos antes, ya que las razones son numeros racionales, entonces

podemos ampli carla y simpli carla como nosotros queramos mientras se

mantenga la raz on.

Ejemplo 2 Supongamos que queremos expresar los no votantes del ejemplo anterior con respecto al total. Entonces podemos hacerlo de todas estas

formas

= : : : =

Dentro de la PSU, hay muchas razones en los enunciados, por lo tanto, es

vital poder manejarlas con facilidad. Veamos m as casos.

Ejemplo 3 Las edades de 2 personas est an en la raz on 4 : 7. >Qu e edad

tiene cada una si la diferencia de sus edades es de 15 anos? ~

Digamos que la primera persona tiene 4k anos, ~ para algun k 2 Z. Entonces,

la segunda persona tendr a 7k anos. ~ Luego, como la diferencia de sus edades

es 15 anos, ~ entonces 15 = 7k4k = 3k de donde podemos concluir que k = 5.

Por lo tanto, las edades de las personas son 20 y 35 anos, ~ respectivamente.

Ejemplo 4 Un angulo de 90o

es dividido en 3 angulos que se encuentran

en la raz on 4 : 5 : 9, >Cu al es la medida de los angulos?

Llamemos ; y

a los angulos. Digamos que = 4k

, para algun k 2 Z.

Entonces, = 5k

y nalmente

= 9k

. Luego, como deben sumar 90o

entonces 90 = 9k + 5k + 4k = 18k de donde podemos concluir que k = 10.

Por lo tanto, las medidas de los angulos son 20o

; 25o

y 45o

, respectivamente.

PORCENTAJES

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa “de cada cien unidades”. Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tantopor ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. El porcentaje sirve también para sacar un porciento de una cantidad ...

El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.¹ Por ejemplo, "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa 'treinta y dos de cada cien'. También puede ser representado:

$32\,% = \; 32 \cdot 0,01$

$32\,% = \; \cfrac{32}{100}$

y, operando:

$32\,% = \; 0.32$

El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:

$32\,% \cdot 2000 = \; 0.32 \cdot 2000 = \; 640$

640 unidades en total.

Si hay 10 coches aparcados y 3 son de colo amarillo, ¿Qué porcentaje (que parte del total) representan estos 3 coches?

El total (los 10 coches aparcados) se considera que es el 100 por cien (se representa por 100 %).

Para calcular el porcentaje que representan los 3 coches amarillos:

Se divide el número de cohes amarillos entre el total de coches y se multiplica por 100 (para expresarlo en porcentaje):

3 : 10 = 0,3
0,3 x 100 = 30 %

Los 3 coches amarillos representan el 30% de los coches aparcados.

En una familia de 6 hermanos 4 son rubios ¿Qué porcentaje representan del total de los hermanos?

4 : 6 = 0,666
0,66 x 100 = 66,6 %

Un equipo ha jugado 15 partidos y ha ganado 6 ¿Qué porcentaje representan los partidos ganados sobre el total

6 : 15 = 0,4
0,4 x 100 = 40%

NÚMEROS DECIMALES

Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto.

La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma. Aquí varios ejemplos para ilustrar estos casos:

7,653

En este valor podemos ver que el número entero se encuentra primero es siete o 7, delante de la coma o a su izquierda, mientras que la parte decimal, que en es te caso contra de tres cifras es 653 y se encuentra a la derecha de la cifra.

0,23

En este otro ejemplo, vemos que la parte decimal tiene solo dos cifras, pero la parte entera se reduce a cero, por lo tanto se deduce que la parte entera es nula y debe ser expresada de esa manera.

4 + 0,23 = 4,23

Este ejercicio nos demuestra como la parte entera se une con la parte decimal a través de una suma que indica que la parte entera es 4 mientras que la parte decimal se reduce a un número menor que uno pero mayor que cero, en este caso 0,23.

Clasificación de los números decimales

Existen varias formas de separar los números decimales; puede ser con una coma, con un punto o con un apóstrofe según se acostumbre y se desee, pero también existen varias formas de números decimales, entre los que tenemos:

Números decimales exactos.- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo, como estos:

0,75; 2,6563; 6,32889

Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por ejemplo.

1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548…

Números decimales periódicos puros.-donde los números decimales son parte del mismo grupo como:

3,63636363…

Números decimales periódicos mixtos.- donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en:

9,36666666…

Números decimales no periódicos.- estos números tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón, un buen ejemplo de números decimales no periódicos, son los números irracionales, como:

El número Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589…

Composición de un número decimal

Los números decimales se componen de cifras que son separadas de la parte entera con una como, un punto o un apóstrofe, como se señalaba en la parte anterior. Pero estas cifras también tienen una característica que las diferencia según la posición de su denominador. Las décimas se ubican un lugar después de la coma o separador; las centésimas están dos lugares después del separador; las milésimas en el tercer lugar y así podríamos seguir con las diezmilésimas, las cienmilésimas, etc.
Por ejemplo en el número 7,951 notamos que 7 es la parte entera, 9 es la décima, 5 es la centésima y 1 es la milésima.

Operaciones con números decimales

Suma y resta

Para sumar y restar números decimales, debemos anotar cada valor en forma vertical, para facilitar la operación, de tal manera que la coma quede en la misma columna, incluso si la parte entera de un valor tenga más cifras que el otro, como se ve en el ejemplo siguiente:

3,48
9,657

A continuación, se iguala el número de cifras decimales de cada valor si es necesario, añadiendo uno o varios ceros al valor con menos cifras decimales para que queden con el mismo número, pues el cero añadido a la derecha de la parte decimal no altera el valor, así:

3,480
9,6570

Finalmente se suma de manera tradicional, sin tomar en cuenta la coma, y al resultado final se le añade la coma en l misma posición que se encuentra en ambos valores sumados o restados.

3,480
+9,657
=13,137

Multiplicación

Para multiplicar dos números decimales, o un número decimal por un número entero, se resuelve la operación sin tomar en cuenta la coma. Luego el número de cifras decimales será la suma del número de cifras decimales de los dos factores, es decir que si un factor tiene dos cifras decimales y el otro tiene una cifra decimal, quiere decir que el resultado deberá tener tres cifras decimales, como en el siguiente ejemplo

3,25 x 2,7
325
X27
2275
650
=8,775

Ahora con un ejemplo, como multiplicar un número decimal por un entero, donde simplemente se siguen las reglas anteriores, con la diferencia de que el número entero tiene cero cifras decimales por lo tanto el número de cifras decimales del resultado se mantiene como en el factor decimal, veamos:

3,25 x 2
325×2=650
=6,50

Para multiplicar números decimales por cifras que son múltiplos de diez, solo recorremos la coma hacia la derecha tantos espacios como ceros tenga el múltiplo de diez, y en el caso de que tengamos que seguir recorriendo y ya no haya cifras decimales, añadimos ceros al resultado, de esta manera:

3,568×10 = 35,68
3,568×100 = 356,8
3,568×1000 = 3568
3,568×10000 = 35680

División

Para dividir números decimales, tenemos varios casos según los decimales se encuentren en el divisor, en el dividendo o en ambos.

Para dividir cuando el dividendo es decimal, se hace la división sin tomar en cuenta la coma y al obtener la primera cifra decimal, se pone la coma en el resultado y se sigue dividiendo de la misma manera.

526,6562 / 7
36 75,2366
16
25
46
42
0

Para dividir cuando el decimal se encuentra en el divisor, se debe recorrer la coma hasta el final de la cifra del divisor, mientras que en el dividendo se añaden ceros por el mismo número de espacios recorridos por la coma. Y se procede a dividir de manera normal.

6824 / 36,58
682400 / 3658

Cuando el dividendo y el divisor son números decimales, recorremos las comas por tantos espacios sean necesarios para que desaparezca del número con más cifras decimales. Mientras que en el número que tiene menos cifras decimales se irán añadiendo ceros según los espacios que falten, y se procede a dividir de la manera tradicional.

32,698 / 8,25
32698 / 8250

Para dividir un número decimal para una cifra múltiplo de diez se debe retroceder la coma hacia la izquierda según el número de ceros que tenga el múltiplo de diez, y si excede el número de espacios, se debe añadir ceros mientras se mantiene la coma y un cero a su izquierda, como a continuación.

3568/10 = 356,8
3568/100 = 35,68
3568/1000 = 3,568
3568/10000 = 0,3568
3568/100000 = 0,03568

FRACCIÓN DECIMAL

Fracción decimal:
fracción cuyo denominador es una potencia de diez. También puede ser una fracción expresada en base 10, en contraposición con las fracciones binarias y demás, que están expresadas en otros sistemas de numeración.

Las fracciones son números que representan cantidades de pedacitos iguales un entero.
por ejemplo: 3 de 5 alumnos hicieron la tarea correctamente y su representación gráfica es así
3/5.
la fracción decimal es tomar un numero decimal y llevarlo a fracción, siendo el numerador todos los dígitos; y el denominador se escribe el 1 seguido de Nº de ceros equivalente al Nº de decimales. por ejemplo:

el numero decimal 3,93 = la fracción decimal 393/100 ya que 3.93 tiene 2 decimales entonces el denominador es 100.
tus ejemplos podrían ser:

24,123 = 24123/1000

4,12478 = 412478/100000

125,8 = 1258/10

FRACCIÓN MIXTA

una fraccion mixta es aquella que esta formada por un numero entero y una fraccion
ejemplo
1 1/4: en si serian 5/4 entendes?
es poner un entero y fraccion para identificar un solo numero

el número mixto esta formado por un entero y una fracción,ej:
3 1/2 ( 3 enteros, 1 medio)
Los números mixtos se pueden pasar a fracción, y se llama fracción impropia (= fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador, y que para representarlas graficamente necesitamos más de un entero)
3 1/2 a fracción impropia →[ (3*2) +1 ] / 2→ 7/2
4 2/5 a fracción impropia→[ ( 4*5) + 2 ] / 5 → 22/5
La fraccion mixta es la suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias.
Ejemplos te puedo dar pero no se como ponerlos con este teclado, pero te los voy a escribir :
Hay que poner NUMEROS ENTEROS Y UNA FRACCION

1 2/3
2 3/4
3 4/5
4 5/6
5 6/7
6 7/8
8 9/10
9 10/11
10 11/12

FRACCIÓN UNITARIA

Una fracción unitaria es un número racional escrito en forma de fracción cuyo numerador es 1 y el denominador es un número entero positivo. Las fracciones unitarias son, por tanto, los inversos de los enteros positivos, $\tfrac {1}{n}$ . Ejemplos: $\tfrac {1}{1}, \tfrac {1}{2}, \tfrac {1}{3}, \tfrac {1}{42}$ , etc.

Las sumas parciales $\tfrac {1}{1} + \tfrac {1}{2} + \tfrac {1}{3} + \dots + \tfrac {1}{n}$ generan la serie armónica, y se va acercando a log_e(n) + γ a medida que sube n. Así que la suma de todas las fracciones unitarias es infinita.

El producto de dos fracciones unitarias es otra fracción unitaria; las sumas y diferencias pueden serlo, pero en general no lo son. El cociente sólo es una fracción unitaria si el denominador es un "múltiplo" del numerador (el caso trivial es cuando la fracción denominador es $\tfrac {1}{1}$ ).

Multiplicación: $\frac {1}{m} \cdot \frac {1}{n} = \frac {1}{mn}$
- $\tfrac {1}{2} \cdot \tfrac {1}{5} = \tfrac {1}{10}$
- $\tfrac {1}{3} \cdot \tfrac {1}{6} = \tfrac {1}{18}$

Suma: $\frac {1}{m} + \frac {1}{n} = \frac {n+m}{mn}$
- $\tfrac {1}{2} + \tfrac {1}{5} = \tfrac {7}{10}$
- $\tfrac {1}{3} + \tfrac {1}{6} = \tfrac {1}{2}$

Resta: $\frac {1}{m} - \frac {1}{n} = \frac {n-m}{mn}$
- $\tfrac {1}{2} - \tfrac {1}{5} = \tfrac {3}{10}$
- $\tfrac {1}{3} - \tfrac {1}{6} = \tfrac {1}{6}$

Cualquier número racional positivo se puede escribir como suma de fracciones unitarias distintas. El resultado es una fracción egipcia, pero la expresión no es única. Por ejemplo, $0,8 = \tfrac {1}{2} + \tfrac {1}{4} + \tfrac {1}{20} = \tfrac {1}{3} + \tfrac {1}{5} + \tfrac {1}{6} + \tfrac {1}{10}$ .