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domingo, 1 de septiembre de 2013

ÁLGEBRA Y ARITMÉTICA

¿Que es el algebra?

El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica.

Etimologicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala )??? (yebr) ( al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Historia del álgebra

El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordial mente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de pitagoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquimesas Herón y Diofante. Arquímedes se basó en las matemáticas en su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento, como principales trabajos tenemos al análisis diofántica y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra hasta ese entonces.

Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones,y parte de la geometría la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.

El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de las matemáticas como la lógica ( álgebra de Boole), el análisis y la topología.

¿Que es la Aritmetica?

La Aritmetica es una rama de las matematicas que se encarga de estudiar las estrucutras númericas elementales, asi como las propiedades de las operaciones y los números en si mismos en su concepto mas profundo, construyendo lo que se conoce como teoria de números.

Para ti es mas sencillo encontrar la aritmetica dentro de tu vida cuando:

vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por medio de una resta, el cambio que dara el tendero.

cuando estas a punto de a abordar el servicio publico y cuantas rapidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del pasaje.

tambien cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas.

Se piensa que la Aritmetica nace con la necesidad de contar los objetos y animales que el ser humano primitiva poseia.

UNIDADES, DECENAS, CENTENAS

Cuando escribimos un número, la primera cifra por la derecha representa las unidades, la segunda por la derecha las decenas y la tercera por la derecha las centenas.

Veamos el número 125:

La relación entre ellas es:

1 decena = 10 unidades
1 centena = 100 unidades
1 centena = 10 decenas

El número anterior 125 se puede descomponer entonces:

1 centenas = 100 unidades
2 decenas = 20 unidades
5 unidades = 5 unidades

Podemos comprobar que si sumamos estos tres componentes:

100 + 20 + 5 = 125

Cuando sumamos o restamos números hay que escribirlos de forma que:

Todas las unidades en la columna de las unidades
Todas las decenas en la columna de las decenas
Todas las centenas en la columna de las centenas

Veamos la siguiente suma: 145 + 56 + 678

Vamos a ver ahora una resta: 361 - 72

M.C.D

En matemáticas , se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto:

$\operatorname{mcd}(42,56) = 14 \,$

operando:

$\frac{42}{14} = 3 \; , \quad \frac{56}{14} = 4$

Siendo 3 y 4 primos entre sí (no existe ningún número natural, aparte de 1, que divida a la vez al 3 y al 4).

. Si $\ \operatorname{mcd}(a,b)=d$ entonces $\ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1$

2. Si $\ m$ es un entero, $\ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)$

3. Si $\ p$ es un número primo, entonces $\ \operatorname{mcd}(p,m)=p$ o bien $\ \operatorname{mcd}(m,p)=1$

4. Si $d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1$ , entonces $\ d=d'$

5. Si $\ d'$ es un divisor común de $\ m$ y $\ n$ , entonces $d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)$

6. Si $\ m=nq+r$ , entonces $\operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)$

M.C.M

En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica connúmeros naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos.

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

$\begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$

$72 = 2^3 \cdot 3^2 \,$

$\begin{array}{r|l} 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

$50 = 2 \cdot 5^2 \,$

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

$\operatorname{mcm} (72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800$

EJEMPLO: Calcular el MCM entre 24 y 45

Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos

24 | 2             45 | 3 12 | 2             15 | 3 6 | 2              5 | 5 3 | 3              1 | 1 1 | 1

24 = 2³.3                          45 = 3².5

Más ejemplos del cálculo de MCM:

12 | 2              50 | 2 6 | 2              25 | 5 3 | 3               5 | 5 1 | 1               1 | 1 12 = 2².3         50 = 2.5² MCM = 2².3.5² = 300 168 | 2             250 | 2           180 | 2 84 | 2             125 | 5            90 | 2 42 | 2              25 | 5            45 | 3 21 | 3               5 | 5            15 | 3   7 | 7               1 | 1             5 | 5   1 | 1                                 1 | 1 168 = 2³.3.7      250 = 2.5³      180 = 2².3².5MCM = 2³.3².5³.7 = 63000

DIVISIBILIDAD

En matemáticas, se dice que un n úmero entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir, que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división euclídea es cero.

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múl tiplode a». Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Los números divisibles entre 2 son los q terminan en 0 o cifra par. Ej: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20...
Los números divisibles entre 3 son los q la suma de sus cifras sea un múltiplo de 3. Ej: 3,6,9,
Los números divisibles entre 5 son los q terminan en 0 o 5. Ej : 5,10,15,20,25

PROPORCIÓN

PROPORCIÓN. Se llama proporción a una igualdad entre dos razones (una razón es el cociente entre dos números).

A . . . .C
— = ——
B . . . .D

Se lee: A es a B como C es a D

A y D se llaman extremos
B y C se llaman medios.

Ejemplo:

10 . . . 0,6
— = ———
5 . . . . 0,3

Los extremos son 10 y 0,3. Los medios son 5 y 0,6

————————————————————————————————————
PROPIEDAD FUNDAMENTAL. "En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios".

Dada la proporción

A . . . .C
— = ——
B . . . .D

se cumple que:

▬▬▬▬▬▬
A • D = B • C
▬▬▬▬▬▬

Ejemplo: En la proporción

10 . . . 0,6
— = ———
5 . . . . 0,3

se cumple que:

10 • 0,3 = 5 • 0,6

3 = 3 ✔

————————————————————————————————————
OTRAS PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES. En la proporción

A . . . .C
— = ——
B . . . .D

se llaman antecedentes a los términos A y C, y consecuentes a B y D.

PROPIEDAD 1) En una proporción, cada antecedente es a su consecuente, como la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes.

A . . . .C . . . A + C
— = —— = ————
B . . . .D . . . B + D

Ejemplo:

24 . . . 16 . . . .24 + 16
— = ——— = ————
3 . . . . 2 . . . . . 3 + 2

PROPIEDAD 2) En una proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma entre el antecedente y el cosencuente de la segunda razón es a su consecuente.

A + B . . .C + D
——— = ———
. .B . . . . . .D

Ejemplo: Dada la proporción

24 . . . 16
— = ———
3 . . . . 2

se cumple que:

24 + 3 . . .16 + 2
——— = ————
. . 3 . . . . . . 2

PROPIEDAD 3) En una proporción, la diferencia entre el antecedente y el cosecuente de la primera razón es a su consecuente, como la diferencia entre el antecedente y el cosencuente de la segunda razón es a su consecuente.

A - B . . . C - D
——— = ———
. .B . . . . . .D

Ejemplo: Dada la proporción

24 . . . 16
— = ———
3 . . . . 2

se cumple que:

24 - 3 . . .16 - 2
——— = ————
. . 3 . . . . . . 2

RAZÓN

La razón matemática en la aritmética es la diferencia de de dos cantidades. La razón aritmética se puede escribir separando las dos cantidades con el signo "-" o bien con un punto. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 - 4 ó 6.4. Cuando se pone punto (.) ke yo sepa se pone en medio como el guion.

El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. Así en la razón 6 - 4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

RAZÓN

Los resultados de observaciones o medidas deben compararse a menudo con algún valor normal para que tengan algún significado. Por ejemplo, decir que un hombre puede leer 400 palabras por minuto tiene poco significado así como se lo establece. Pero cuando esta relación se la compara con las 250 palabras por minuto que lee un lector medio, se puede ver que aquél lee considerablemente más rápido que el lector común. ¿Cuánto más rápido? Para determinarlo, esta relación se divide por la relación del lector medio, como sigue: 400/250= 8/5

Entonces, por cada 5 palabras leídas por el lector medio este hombre lee 8. Otra forma de hacer esa comparación es diciendo que él lee 1 3/5 veces más rápido que el lector medio.

Cuando la relación entre dos números se indica en esta forma, se compara como una RAZÓN. Una razón es una comparación de dos cantidades semejantes. Es el cociente obtenido dividiendo el primer número de la comparación por el segundo.

18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6. fdsf

Ejemplo 1 Supongamos que se realiz o una encuesta entre los j ovenes entre

18 y 21 anos ~ cuya conclusi on es: "1 de cada 5 j ovenes est a inscrito en el

Registro Electoral". Entonces, podemos decir que la raz on entre los que votan

y el total de j ovenes es 1 : 5. Tambi en podemos decir que la raz on entre los

que votan y los que no, es 1 : 4.

Como vimos antes, ya que las razones son numeros racionales, entonces

podemos ampli carla y simpli carla como nosotros queramos mientras se

mantenga la raz on.

Ejemplo 2 Supongamos que queremos expresar los no votantes del ejemplo anterior con respecto al total. Entonces podemos hacerlo de todas estas

formas

= : : : =

Dentro de la PSU, hay muchas razones en los enunciados, por lo tanto, es

vital poder manejarlas con facilidad. Veamos m as casos.

Ejemplo 3 Las edades de 2 personas est an en la raz on 4 : 7. >Qu e edad

tiene cada una si la diferencia de sus edades es de 15 anos? ~

Digamos que la primera persona tiene 4k anos, ~ para algun k 2 Z. Entonces,

la segunda persona tendr a 7k anos. ~ Luego, como la diferencia de sus edades

es 15 anos, ~ entonces 15 = 7k4k = 3k de donde podemos concluir que k = 5.

Por lo tanto, las edades de las personas son 20 y 35 anos, ~ respectivamente.

Ejemplo 4 Un angulo de 90o

es dividido en 3 angulos que se encuentran

en la raz on 4 : 5 : 9, >Cu al es la medida de los angulos?

Llamemos ; y

a los angulos. Digamos que = 4k

, para algun k 2 Z.

Entonces, = 5k

y nalmente

= 9k

. Luego, como deben sumar 90o

entonces 90 = 9k + 5k + 4k = 18k de donde podemos concluir que k = 10.

Por lo tanto, las medidas de los angulos son 20o

; 25o

y 45o

, respectivamente.