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domingo, 1 de septiembre de 2013

FRACCIÓN IMPROPIA

Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia.

Las fracciones impropias son aquellas en las cuales el numerador (el número de arriba) es mayor o igual al denominador (el número de abajo).

Esto significa que al realizar la división representada por este tipo de fracciones el resultado siempre será mayor o igual a la unidad.

Debido a lo anterior las fracciones impropias pueden ser escritas como fracciones mixtas y viceversa, en muchas ocasiones es más fácil trabajar con fracciones en su representación de impropias, que cuando se expresan como mixtas.

Aunque una fracción pueda ser reducida, si originalmente es impropia la que se encuentra reducida también lo es, ya que siempre el numerador será más grande que el denominador.

10 ejemplos de fracciones impropias:

8/2 = 4/1 = 4

6/4 = 3/2

12/11

24/8 = 6/4 = 3/2

74/54 = 37/27

93/44

FRACCIÓN PROPIA

En nuestra vida cotidiana es muy frecuente oír expresiones como: me comí un quinto de la pizza, compré tres cuartos de kilo de melocotones, estuve esperando media hora, etc. En todos esos casos estamos empleando fracciones. Utilizamos las fracciones para expresar medidas que no contienen un número exacto de veces a la unidad.

Si la unidad la dividimos en varias partes iguales, podemos tomar como nueva unidad de medida una de estas partes más pequeñas. Las unidades fraccionarias son necesarias cuando lo que queremos medir no contiene un número entero de veces a la unidad de medida. Para expresar una medida en unidades fraccionarias utilizamos una fracción.

Una fracción también la podemos representar sobre la recta numérica. Para ello dividimos la unidad (el segmento que va del 0 al 1) en tantas partes como indica el denominador y contamos, a partir del 0, el número de partes que indica el numerador. Así, la fracción 2/5 quedaría representada de la siguiente forma:

En esta aplicación vamos a utilizar fracciones para representar partes de una figura, representar fracciones sobre la recta y comparar fracciones, que nos permitirán ordenarlas o ver si son equivalentes. En todos los casos trabajaremos con fracciones propias. Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador.

4/8 = 2/4 = ½

15/24 = 5/8

99/120 = 33/40

30/50 = 3/5

60/100 = 6/10 = 3/5

9/10

14/19

13/25

NÚMEROS FRACCIONARIOS

Números fraccionarios o quebrados: 4/5, 3/10, 1/2
Son aquellos números que se pueden representar con una fracción.
Son números que se utilizan para expresar partes o proporciones de algo. Por ejemplo, cuando decimos ½ hora (media hora) nos referimos a 30 minutos, o si se dice ½ docena de huevos, nos estamos refiriendo a la mitad de una docena (seis huevos).

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, o quebrado (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)¹ es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad ; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. Elconjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado $\mathbb Q$ .

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

Numerador y denominador

El Numerador Y El Denominador acciones se componen de: numerador, denominadory línea divisoria entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común $a/b$ el denominador b representa la cantidad de partes iguales en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es el entero.

Representación gráfica y analítica

Suelen utilizarse figuras geometricas (los cuales representan la unidad) divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten) tantas de estas partes como indique el numerador.

Notación y convenciones:
- en una fracción común, el denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);
- una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o $-\dfrac{3}{4}$ , pero no 3/-4);
- una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que $a/b\ = a \cdot 1/b\$ ; si tanto a como b son números negativos $(-a/-b)$ , el producto es positivo, por lo que se escribe: a/b;
- toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de «fracción».

La expresión genérica $a/b$ representa una división algebraica, por lo que el divisor debe ser distinto de cero (b $\neq 0$ ); el cociente de esta división admite un desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) que puede ser finito o infinito periódico (ver Número periódico).

Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, su expansión decimal será infinita no-periódica.

Una fracción común representa un número racional, por lo que las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.

Ejemplos

$\dfrac{3}{4}$ ; 3/4 ; ³/₄ ; (¾) ; fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%;

$\dfrac{x^2}{(x+3)(x-3)}$ ; fracción: numerador x² y denominador (x+3)(x-3), el valor decimal dependerá del valor de la variable x.

Suma:

3/2 + 4/2 = 7/2

5/4 + 7/4 = 12/4

1/2 + 1/3 = 5/6

2/4 + 8/4 = 10/4

1/3 + 2/3 = ·/3

Resta

5/4 - 2/4 = 3/4

8/7 - 2/7 = 5/7

6/9 - 3/9 = 3/9

4/2 - 3/2 = 1/2

3/3 - 2/3 = 1/3

Division

2/4 : 2/3 = 6/8

1/2 : 2/7 = 7/4

3/3 : 4/4 = 12/12

2/8 : 7/9 = 18/56

2/6 : 6/2 = 12/12

Multiplicacion

2/2 x 4/5 = 8/10

1/3 x 7/7 = 7/21

5/6 x 9/8 = 45/48

4/2 x 9/9 = 36/18

2/7 x 9/1 = 18/7

LOS NÚMEROS REALES

En matemáticas, los números reales (designados por $\mathbb{R}$ ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes¹ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: $\sqrt{5}, \pi$ , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.²

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.³En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia desucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son
√

= 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estrá a la derecha del punto que corresponde a a.

Ejemplo:

2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5

Propiedad: Asociativa

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c

Que dice:
Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

Ejemplo:

7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad: Identidad

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a + 0 = a------ a x 1= a
Que dice: Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

Ejemplo:

-11 + 0 = -11 17 x 1 = 17

Propiedad: Inversos

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a + ( -a) = 0------(a)1/a=1

Que dice:
La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.

Ejemplos:

15+ (-15) = 0 1/4(4)=1

Propiedad: Distributiva

Operación: Suma respecto a Multiplicación

Definición: a(b+c) = ab + ac

Que dice:
El factor se distribuye a cada sumando.

Ejemplos:

2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Propiedades de las igualdades

Propiedad Reflexiva

Establece que toda cantidad o exprecion es igual a si misma.

Ejemplo:

2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

Propiedad Simétrica

Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.

Ejemplo:

Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a - b = c, entonces c = a - b
Si x = y, entonces y = x

Propiedad Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales.
Ejemplo:
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5...

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Número irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros.

La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es ; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional p (pi).

La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.

El filósofo griego Pitágoras de Samos (540 a.C.) descubrió estos números al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.

Por el teorema de Pitágoras, sí l=1, entonces:

Donde es un número irracional.

Tenemos entonces que un número irracional, es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o negativos.

Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos)

√31 = 5.5677643628300219221194712989185

√999 = 31.606961258558216545204213985699

√2 = 1.41427 indefinidamente

π = 3,14159265358979323846

El número e (el número de Euler) 2,7182818284590452353602874713527

√5 = 2.2360679774997896964091736687313

√7 = 2.6457513110645905905016157536393

√11 = 3.3166247903553998491149327366707

√13 = 3.6055512754639892931192212674705

√122 = 11.045361017187260774210913843344

LOS NÚMEROS RACIONALES

Definición de Número racional

Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros. El término "racional" hace referencia a una "ración" o parte de un todo; el conjunto de los números racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.

Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario.

¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número

2 \sqrt

, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales

Solución:
1) -1/ 11 + 9/8 ==> m.c.m:(8,11) = 88
luego:
::::-1 / 11 + 9 /8 = -8 /88 + 99 / 88 = - 91/88==>Respuesta.

2) -9/5 - (-7/12) ==> m.c.m:(5,12) = 60, luego:

....-9 / 5 - (-7/12) = -108 / 60 - (-35/60) = (-108 + 35) / 60 = -23 / 60

3) -9 / 5 - (-7/12) + 2 /10 + 9 - (-8/5)==> m.c.m.(5,12,10) = 60.luego:

-9/5 - (-7/12) + 2/100 + 9 - (-8/5) = -108 / 60 + 35 / 60 + 12 /60 + 540 / 60 + 90/ 60= 575 / 60=...
...= 115 / 12 >== repuesta.

2.5 = 25/ 10 = 10/4 = 5/2

8/5 = 1.6

1/7 = 0.142857142857

1/60 = 0.01666

3=3/1

15/5=3

−6=−6/1

24/99

8/16

LOS NÚMEROS ENTEROS

Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación suma.

Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se define como:el entero positivo a-b, si a > b,
0, si a=b
el entero negativo -(b-a) si a < b
La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.
Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida como(-a)(-b)=ab
(-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.
Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos, , por ejemplo como ésta: si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es también infinito numerable. También es un conjunto totalmente ordenado, cuando se considera la relación de orden definida en la forma obvia y que extiende la relación de orden que se tiene en . También es cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferiormente tiene elemento mínimo, y recíprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tieneelemento máximo.

NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS: -7.-19,-51,-24,-67....

NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS:5,89,62,35,3.

Entero negativos son todos los numeros negativos osea que estan antes que el cero
-4,-10,-15,-100,-5

Enteros positivos son todos los numeros normales
4,6,10,100,40

enteros positivos 1,2,3,4,5
enteros negativos-1,-2,-3,-4,-5

negativos

-1
-2
-3
-4
-5
-77
-89
etc

positivos
1
2
3
4
5
56
78
98